炎德英才大联考长沙市一中2023届高三月考试卷(2二)数学 答案

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4．已知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，f（1）=1，f（4）=7，则f（2016）=（　　）

分析根据题意，由a_n+1=3a_n-4，可得a_n+1-2=3（a_n-2），结合a₁-2=2可得数列{a_n-2}是以a₁-2=2为首项，公比q=3的等比数列；由等比数列的通项公式可得a_n-2=2×3^n-1，变形可得a_n=2×3^n-1+2，即可得答案．

解答解：根据题意，由a_n+1=3a_n-4，可得a_n+1-2=3a_n-6=3（a_n-2），
即a_n+1-2=3（a_n-2），a₁-2=2，
则数列{a_n-2}是以a₁-2=2为首项，公比q=3的等比数列，
则a_n-2=2×3^n-1；
则a_n=2×3^n-1+2；
故数列的通项公式为a_n=2×3^n-1+2．

点评本题考查数列的递推公式的运用，关键是分析a_n+1=3a_n-4，变形得到a_n+1与a_n的关系．