2023届名校名师测评卷(2二)数学 答案

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18．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的请用计算器或计算机检验）．
（1）y=$\frac{1}{2}$sinx；
（2）y=sin3x；
（3）y=sin（x-$\frac{π}{3}$）；
（4）y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）．

分析（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知可得a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），利用椭圆的通径长结合a²-b²=1求得a，b的值，再由隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．

解答解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
则有a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则有$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，又a²-b²=1，∴2a²-3a-2=0，
解得：a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴b²=a²-1=3，c²=a²-b²=4-3=1，则c=1．
∴椭圆C的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，是中档题．