衡水金卷2022-2023高二期中考试(新教材·月考卷)数学 答案

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6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点R（-1，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$．（1）当直线l的倾斜角为60°时，求三角形OPQ的面积；
（2）当三角形OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．

分析函数f（x）在[1，+∞）内存在单调减区间，可得f′（x）≤0在x∈[1，+∞）内成立，运用参数分离，再由二次函数的最值，求得最小值，即可得到a的范围．

解答解：f（x）的导数为f′（x）=4x-$\frac{a}{x}$，
∵函数f（x）在x∈[1，+∞）内存在单调递减区间，
∴f′（x）≤0在x∈[1，+∞）内成立，
∴4x-$\frac{a}{x}$≤0，即有a≥4x²，
∵x≥1，∴4x²≥4，
则a≥4，
当a=4时，f′（x）=4x-$\frac{4}{x}$，
由f′（x）≤0，可得-1≤x≤1，
即有a=4不成立．
∴实数a的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．

点评本题考查了利用导数研究函数的单调性，注意运用参数分离和函数成立思想的运用，属于基础题和易错题．