山西2022~2023高中教育发展联盟高一11月份期中检测数学 答案

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15．已知函数f（x）=4sin²（x+$\frac{π}{4}$）-2$\sqrt{3}$cos2x+1，且给定条件p：$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，又给定条件q：|f（x）-m|＜2，且p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（　　）

分析（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，由引能证明CD=$\frac{1}{2}$AB．
（2）由已知得E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），直线AE：y=-$\frac{3m}{n}$x+m，由此求出F（$\frac{n}{3}$，0），利用两点间距离公式能求出AF的长．

解答证明：（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（0，m），B（n，0），∴D（$\frac{n}{2}$，$\frac{m}{2}$），
∴AB²=m²+n²，CD²=$\frac{{n}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{A{B}^{2}}{4}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
解：（2）∵E为CD的中点，∴E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），
∴直线AE：$\frac{y-m}{x}=\frac{\frac{m}{4}-m}{\frac{n}{4}}$，整理，得y=-$\frac{3m}{n}$x+m，
∵连接AE并延长交BC于F，∴F（$\frac{n}{3}$，0）
∴AF=$\sqrt{（\frac{n}{3}）^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{m}^{2}+{n}^{2}}}{3}$．

点评本题考查直角三角形中斜边上中线等于斜边长一半的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，合理建立平面直角坐标系是解题的关键．