2023届湖北省高三考试10月联考(23-22C)数学 答案

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20．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过（2，0）和（0，1）两点；
（3）经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点．

分析（1）由韦达定理得a₂=2，a₂=14，由此利用等差数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出通项公式．
（2）由等差数列的首项和公差，能求出数列{a_n}的前10项和．

解答解：（1）由题意得：一元二次方程$\frac{1}{2}{x}^{2}-8x+14=0$的根为2，14，
∵公差d＞0，∴a₂=2，a₂=14，…（1分）
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{{a}_{1}+5d=14}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a₁=-1，d=3，…（3分）
∴通项公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．…（5分）
（2）∵得a₁=-1，d=3，
∴S₁₀=$10×（-1）+\frac{10×9}{2}×3$=125．…（7分）

点评本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．