蓉城高中教育联盟2022~2023上期高中2021级高二期中联考数学 答案

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19．各项都是正数的等比数列{a_n}，若a₂，$\frac{1}{2}$a₃，2a₁成等差数列，则$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{{a}_{4}+{a}_{5}}$的值为（　　）

分析（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的值；
（2）利用余弦定理得到①及三角形的面积公式得到②，联立①②化简可得b+c的值

解答解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC-sinA）cosB-sinBsinA=0，
∴2sinCcosB-（sinAcosB+cosAsinB）=2sinCcosB-sin（A+B）=2sinCcosB-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，则B=$\frac{π}{3}$；
（2）由b=7及∠B=$\frac{π}{3}$，
根据余弦定理得：b²=7²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$，①
根据面积公式得S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}ac•\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，②
联立①②得到（a+c）²=169，
∴a+c=13．

点评本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，是中档题．