湖北省2022年秋"荆、荆、襄、宜四地 七校考试联盟"高二期中联考数学 答案

2022-11-10 14:27:09

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试题答案

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18.(1)△ABC中,a=3$\sqrt{3}$,c=2,B=150°,求b.
(2)△ABC中,a=2,b=$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{3}$+1,求A.

分析(1)由题意可得△ABC的周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA═$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin(A+$\frac{π}{6}$),结合A的范围可得答案.
(2)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA=sinBcosA,当cosA=0时,可得A=$\frac{π}{2}$,可求B,b,利用三角形面积公式即可得解;当cosA≠0时,由正弦定理解得b=2a,利用余弦定理可求a,b,根据三角形面积公式即可得解.

解答解:(1)由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$,
∴可得b=2sinB,a=2sinA,
∴△ABC的周长l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA,
=$\sqrt{3}$+2sin($\frac{2π}{3}$-A)+2sinA
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin(A+$\frac{π}{6}$),
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),
∴A+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),
∴sin(A+$\frac{π}{6}$)∈($\frac{1}{2}$,1]
∴当sin(A+$\frac{π}{6}$)=1时,△ABC的周长l=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin(A+$\frac{π}{6}$)取最大值3$\sqrt{3}$.
(2)∵2sin2A+sin(2B+C)-sinC=0,
⇒2sin2A=sin(A+B)-sin(B-A+π)
⇒2sin2A=sin(A+B)+sin(B-A)
⇒2sinAcosA=sinBcosA,
∴当cosA=0时,可得A=$\frac{π}{2}$,由c=$\sqrt{3}$,C=$\frac{π}{3}$.故B=$\frac{π}{6}$,可得:S△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×$$\frac{csinB}{sinC}$×c=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
当cosA≠0时,可得2sinA=sinB,由正弦定理可得:b=2a,由c=$\sqrt{3}$,C=$\frac{π}{3}$,利用余弦定理可得:3=a2+b2-ab=3a2,解得:a=1,b=2,可求S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评本题考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的最值,三角形面积公式,正弦定理,余弦定理的综合应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.

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