2023届全国名校联考高三第三次联考试卷数学 答案

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15．已知正四棱锥V-ABCD底面中心为O，E，F分别为VA，VC的中点，底面边长为2，高为4，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线BE与DF所成角的正切值．

分析利用换元法，设t=1+$\frac{1}{x}$，把原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
再设函数f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，利用导数判断f（t）的单调性，从而证明不等式成立．

解答证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{t-1}}$=$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$，
原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
设f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，
则f′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴lnt＞1-$\frac{1}{t}$；
即ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）．

点评本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性证明不等式成立的问题，体现了转化、换元的数学思想，是中档题．