广西国品文化2022~2023年高考桂柳综合模拟金卷(3三)数学 答案

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18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{b}{cosB}$．
（1）求角B的大小；
（2）求$\sqrt{3}$sinA-cosC的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

分析利用已知可得：直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），0≤α＜π，把直线的参数方程代入椭圆方程x²+2y²=1，整理得t的二次方程，由于直线与椭圆相交两点，可得△≥0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2（1+si{n}^{2}α）}$即可．

解答解：设直线MN的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），0≤α＜π，
代入椭圆的方程可得，t²（1+sin²α）+$\sqrt{10}$tcosα+$\frac{3}{2}$=0，
判别式△=10cos²α-6（1+sin²α）=4-16sin²α≥0，
解得0≤sinα≤$\frac{1}{2}$，
即有|PM|•|PN|=|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2（1+si{n}^{2}α）}$≥$\frac{3}{2（1+\frac{1}{4}）}$=$\frac{6}{5}$，
当且仅当sinα=$\frac{1}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时取等号．
∴当α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时，|PM|•|PN|的最小值为$\frac{6}{5}$．

点评本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．