2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国乙卷B理数三 答案

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4．已知函数f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
（1）求函数图象的对称中心和对称轴；
（2）写出函数的单调递减区间；
（3）此函数图象可由函数y=cosx图象怎样变换得到？

分析先构造函数F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），只需证函数为单调函数且两端点处函数值异号即可．

解答证明：构造函数F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
F'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-1，
因为cos（cosx）∈[cos1，1]，sinx∈[-1，1]，
所以，F'（x）≤0恒成立，
即F（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
又因为F（0）=sin（cos0）-0=sin1＞0，
F（$\frac{π}{2}$）=sin（cos$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$＜0，
所以，F（0）•F（$\frac{π}{2}$）＜0，
根据零点存在性定理知，函数F（x）在（0，$\frac{π}{2}$）有唯一零点，
即方程sin（cosx）=x在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有唯一的实数解．

点评本题主要考查了函数零点的判定，涉及运用导数确定函数的单调性和函数值符号的判断，属于中档题．