全国大联考2023届高三全国第三次联考 3LK(新高考)数学 答案

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11．函数y=x+$\frac{5}{x+1}$（x≥2）取得最小值时的x的值为（　　）

分析（1）根据$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，能求出直线l的直角坐标方程，根据sin²θ+cos²θ=1，消参后能求出曲线C的普通方程．
（2）求出圆心C到直线l：x+y-2=0的距离d=$\sqrt{2}$＞1=r，直线l与圆C相离，由此得到圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径．

解答解：（1）∵直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴$psinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=2，
根据$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入得：直线l的直角坐标方程为x+y-2=0．
∵曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴根据sin²θ+cos²θ=1，消参后得曲线C的普通方程是：x²+y²=1．
（2）∵曲线C：x²+y²=1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
圆心C到直线l：x+y-2=0的距离d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$＞1=r，
∴直线l与圆C相离，
∴圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，
∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评本题考查直线的直角坐标方程和圆的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．